จุด จำนวน และวัตถุแห่งการคิด กับ คณิตศาสตร์แห่งแสง(ตอนที่ 1)

จำนวน คือวัตถุนามธรรมที่ใช้สำหรับอธิบายปริมาณ

ตัวเลข หมายถึง สัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวน เช่น จำนวน สาม อาจแทนด้วย 3 ๓ หรือ III ฯลฯ ก็ได้ ซึ่งแตกต่างกันไปในแต่อารยธรรม

ตัวเลขที่เรานิยมใช้กันในปัจจุบันนี้ เป็นระบบเลขฮินดูอารบิค ซึ่งจะประกอบด้วยตัวเลข“โดด” หรือจำนวนนับจำนวนสิบตัวได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 เราสามารถนำตัวเลขมาสร้างเป็นจำนวนเลข โดยการเขียนให้อยู่ในตำแหน่งต่าง ๆได้

"จำนวนตัวเลข"ในทางคณิตศาสตร์จึงเป็น"วัตถุแห่งการคิด"(Georg Cantor)ที่สำคัญอย่างหนึ่งในทางคณิตศาสตร์ มีประโยชน์ช่วยอำนวยความสะดวกแก่มนุษย์ในชีวิตประจำวัน และพัฒนาสู่คณิตศาสตร์ชั้นสูงหรือแคลคูลัส ที่มีบทบาทในแวดวงวิศวกรรมและฟิสิกส์อย่างกว้างขวาง

แต่การที่ระบบจำนวนตัวเลขถูกสร้างขึ้นมาด้วย เงื่อนไขอย่างหนึ่ง โดยเริ่มจาก “วัตถุแห่งการคิด” มิได้หมายความเสมอไปว่า ตัวมันเอง-จำนวนตัวเลข- จะสามารถอธิบายความจริงของโลกได้ทุกเรื่องเสมอไปก็หาไม่

เพราะขณะที่คณิตศาสตร์ที่เกิดจากรากฐานแนวคิดแบบนี้-จำนวน- ซึ่งเริ่มจากตัวเลขโดดที่เริ่มจากจำนวนนับ และอำนวยความสะดวกแก่มนุษย์ในเรื่องหนึ่ง อาจไม่สอดคล้องกับความจริงทางกายภาพ เช่น กาละ-เทศะ(time-space) เพราะวัตถุแห่งการคิดที่ถูกสร้างขึ้นภายใต้ตรรกะหนึ่ง อาจต้องล้มเหลวหากต้องนำไปอธิบายสิ่งอื่นที่มีเงื่อนไขแตกต่างออกไป เพราะอาจต้องเผชิญเรื่องกับดักทางตรรกะในแบบที่คาดไม่ถึงก็เป็นได้(โปรดดู ความจริง การตีความ กับดักของตรรกะ)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อคณิตศาสตร์ระบบปัจจุบัน ต้องนำไปอธิบายปัญหาของเซโน(Zeno)แห่งอีเลีย ที่ตั้งคำถามไว้ก่อนยุคโสเครตีสว่าด้วยการเคลื่อนที่และการแบ่งกาละ-เทศะ

นั่นเพราะว่าคณิตศาสตร์แบบปัจจุบันไม่อาจ..ตอบคำถามสิ่งที่เกี่ยวข้องกับ จุด ความต่อเนื่อง หรือ ขณะใดขณะหนึ่งของกาละ-เทศะได้

ดังที่นักคิดอย่าง Bergson(1911), James(1911, Ch 10 —11) and Whitehead (1929) กล่าวว่า Zeno's paradoxes show that space and time are not structured as a mathematical continuum: they argued that the way to preserve the reality of motion was to deny that space and time are composed of points and instants

นั่นคือหากเราต้องการอธิบายเรื่องการเคลื่อนที่ให้ถูกต้องได้ เราจะถูกบังคับให้ต้องปฏิเสธว่า กาละ-เทศะ ประกอบไปด้วยจุด และขณะใดขณะหนึ่ง

พูดใหม่ได้ว่า คณิตศาสตร์ปัจจุบันไม่อาจอธิบายปัญหาว่าด้วยจุด หรือความต่อเนื่องของกาละ-เทศะได้

ก็จุดและขณะใดขณะหนึ่งในกรอบของกาละ-เทศะเป็นอย่างไร?

"จุด" ก็เป็นวัตถุแห่งการคิดอย่างหนึ่ง ซึ่งนิยามไม่ได้ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงไม่นิยามว่าจุดคือสิ่งใด เพราะหากนิยามแล้วสร้างปัญหามากกว่าจะช่วยแก้ปัญหาให้กับระบบคณิตศาสตร์ แต่จุดก็มีประโยชน์ในแง่ของการเป็นเครื่องช่วยคิดและสร้างความเข้าใจเรื่องเรขาคณิตและระบบจำนวน

การบอกจุด หรือตำแหน่งใดๆที่แน่นอนของวลาหรือสถานที่ทำไม่ได้ เพราะจุดไม่ใช่ความจริง ยิ่งเมื่อต้องการชี้ตำแหน่งที่ชัดแจ้งของ 1 บนเส้นจำนวน(ตัวแทนของกาละ-เทศะ) เราก็ชี้ลงไปไม่ได้ เพราะจุดที่ 1 ดำรงอยู่นั้น ไม่มีอยู่จริง นั่นคือ เราไม่อาจหาจุดที่ตั้งของ 1 บนเส้นจำนวนได้

"ขณะใดขณะหนึ่ง” หรือ ส่วนใดส่วนหนึ่งของเทศะ ก็คือ การแบ่งทั้งหมดออกเป็นส่วนๆตามที่ผู้กำหนดต้องการ เป็นการการตัดแบ่งสิ่งที่ต่อเนื่อง-กาละ-เทศะ-ออกเป็นสิ่งที่จำกัด ซึ่งการแบ่งนี้จะก่อปัญหาสำคัญตามมา คือ

เช่น เมื่อตัดแบ่งสิ่งที่ต่อเนื่องให้เป็นสิ่งที่จำกัด จะนำเราไปสู่ปัญหาที่ซับซ้อน นั้นคือว่า สิ่งที่จำกัดนั้นจะถูกแบ่งได้เรื่อยๆแบบไม่จำกัด แต่เมื่อประกอบขึ้นมาแล้วเป็นสิ่งที่จำกัด นำไปสู่ปัญหาว่า สิ่งที่ไม่จำกัดรวมกันเป็นสิ่งที่ำจำกัดได้อย่างไร และสิ่งที่มีขนาดต่างกัน แต่ประกอบด้วยสิ่งที่ไม่จำกัดเหมือนกัน เหตุใดผลรวมที่ได้จึงต่างกัน เช่น การแบ่ง 1 หรือ 2 เราแบ่งได้ไม่จำกัด แต่ผลรวมของมันมีค่าต่างกัน คือ 1 และ 2 ตามลำดับ?

จากปัญหาข้อที่หนึ่งว่าด้วยเรื่องจุด ทำให้เราเจอคำถามสำคัญคือ เราจะบอกหรือพูดถึงจำนวนที่มากที่สุดก่อนถึง 1 ไม่ได้ เพราะมันจะปรากฏในรูปลักษณ์ของ 0.999...9 ซึ่ง ไม่มีวันที่จะกระโดดไปยัง 1 ได้ ไม่ว่าจะเพิ่มทศนิยมอีกกี่ตำแหน่งก็ตาม ดังนั้น 0.999...9 จะไม่ต่อเนื่องไปยัง 1

หรือการพยายามค้นหาว่าจำนวนที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 1 คือจำนวนใด ตามระบบคณิตศาสตร์ก็คือ 1.000...1 ซึ่งเป็นทศนิยมไม่รู้จบ แต่ก็อีกนั่นแหละ มันเป็นการก้าวกระโดดจาก 1>1.000...1 ก็เท่านั้นเอง มันไม่มีความต่อเนื่องแต่อย่างใด

กล่าวคือ เราจินตนาการได้ว่าำจำนวนที่ใกล้กับ1 มากที่สุด คือ 0.999999...ซ้ำไม่รู้จบ

แต่เราพบว่า ไม่ว่าจะเพิ่มทศนิยมของ 0.99 ไปอีกเท่าไหร่ มันก็ไปไม่ถึง 1 สักที หรือแม้เราจะเขียนในค่าของ 1 ในรูปของ Cauchy's system 1/2 + 1/4 + … = 1

นั่นคือ 1/2+1/4+1/8+...1/2n = 1

แต่ปัญหาที่พบคือ สมาชิก(n)ตัวสุดท้าย คือ?

เราจึงกล่าวได้แต่เพียงว่าผลรวมของมันต้องเข้าใกล้ หรือเท่ากับ 1 โดยที่ไม่รู้ว่า n=?

เช่น หากบอกว่าจำนวนที่มากที่สุดที่อยู่ใกล้ 1 กับจำนวนที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 1 ผล คือจำนวนข้างล่างนี้

0.999 999...9 กับ 1.000 000...1 เราพบว่า ความต่างของสองจำนวนนี้คือ 0.000 000...2

นั่นคือจะกลายเป็นว่าขนาดของจุดที่ 1 ตั้งอยู่นั้นมีขนาดเท่ากับ 0.000 000...2 หน่วย ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเป็นเป็นตำแหน่งทศนิยมที่เท่าใด เท่านั้นเอง

ดังนั้นเราไม่มีวันที่จะกำหนดได้ว่า ณ จุดที่ 1 ตั้งอยู่มีขนาดเท่ากับ 0.000 000...0 หน่วย เพราะหากเราบอกว่ามีจุดเท่ากับขนาดที่กล่าวถึง คือ 0.000 000...0 หน่วย เท่ากับว่าจุดนั้นๆไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นจุดที่ตั้งอยู่ของ 1 บนเส้นจำนวนจึงไม่มี มันลอยๆอยู่แบบนั้นแบบสมมติๆว่าอยู่ ณ จุดนั้น

ด้วยเหตุนี้ เราจึงไม่อาจบอกได้ว่า 0.999 999...9 จะถึง 1 เมื่่อใด เพราะว่า จุดที่ 1 ตั้งอยู่นั้นไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นจำนวนที่มากที่สุดก่อนถึง 1 จึงไม่มี หรือหาไม่ได้ สรุปด้วยประโยคที่ว่า

"we can get nearer and nearer towards 1 by adding on more and more members of the sequence, but not actually arrive at 1"

(นั่นคือ ปัญหาเรื่องจำนวนสมาชิกของอนุกรม 1= 1/2+1/4+1/8+...1/2n)

กรณีของกาละ-เทศะ ซึ่งมีสมบัติของความต่อเนื่อง หากเราแสดงกาละ-เทศะ บนเส้นจำนวน..เราจะพบว่า ณ จุดใดๆของกาละ-เทศะ คือ วัตถุแห่งการคิด คือ ไม่มีอยู่จริง

ดังนั้น เราไม่อาจแสดงจำนวนบนเส้นจำนวนแห่งกาละ-เทศะ อย่างถูกต้องและมีเหตุผลได้(แน่นอนที่เราทำได้เพราะเราสมมติว่ามีจุดอยู่จริงๆ)

นั่นคือ คณิตศาสตร์ที่ริเริ่มจากจำนวนนับ หรือตัวเลขโดดนี้ มีข้อจำกัดเมื่อต้องนำไปอธิบายสิ่งที่เกี่ยวข้องกับจุดหรือความต่อเนื่องของกาละ-เทศะ

ปัญหาของเซโน จะยังคงทรงอิทธิพลและตามหลอกหลอนคณิตศาสตร์ไปอีกนานเท่านาน

"Zeno's paradoxes reveal some problems that cannot be resolved without the full resources of mathematics as worked out in the Nineteenth century (and perhaps beyond). This is not (necessarily) to say that modern mathematics is required to answer any of the problems that Zeno explicitly wanted to raise; arguably Aristotle and other ancients had replies that would — or should — have satisfied Zeno."

ขณะที่ความจริงของโลกของทฤษฎีฟิสิกส์ มักกำหนดล่วงหน้าว่า กาละ-เทศะ สองสิ่งนี้ คือ ความต่อเนื่อง แต่คณิตศาสตร์ของเรามีปัญหาในการอธิบายเรื่องความต่อเนื่อง?

"While it is true that almost all physical theories assume that space and time do indeed have the structure of the continuum."

ตอนต่อไป เราจะหาทางออก และการค้นพบใหม่ๆ เพื่อเป็นการวางรากฐานให้กับระบบคณิตศาสตร์ เมื่อต้องรับมือกับจุดและความต่อเนื่องแบบ กาละ-เทศะ...หากใครทำได้ ก็เก่งที่สุดในโลก ว่างั้น...ไม่ลองก็ไม่ีีรู้

*หมายเหตุ อ้างอิงยังไม่สมบูรณ์

คณิตศาสตร์แบบใหม่ ทางออกของปัญหาคือ?(ตอนที่ 2)